Ez azonban még ennyi erős embernek sem sikerült" - állt a Népsport hasábjain. Négy év múlva, a mexikói olimpián ismét sérülés hátráltatta: rácsapódott a kezére az autóbusz ajtaja, a begyulladt részt műteni kellett, ráadásul a térde is cipó nagyságúra dagadt, mire a szőnyegre lépett. A szakvezetés féltette is, de rajta egy pillanatra sem látszott, hogy egy-egy mozdulat a kínok kínja számára. Legyőzte a román Constantin Busoit, a japán Iszagoi Jorihidét, a finn Raymond Uytterhäghát és a bolgár Sztefan Petrovot, a döntőben pedig ismét Roscsinnal megküzdve lett aranyérmes. Máig ő az egyetlen magyar birkózó, aki két ötkarikás elsőségre volt képes. Az 1969-es idényt sérülések miatt kihagyta, edzői tanulmányaira összpontosított a Testnevelési Főiskolán. A következő évben elkezdte az olimpiai felkészülést, a Felszabadulási emlékversenyt megfázása miatt mégis kihagyta. A verseny után hazafuvarozta edzőjét, Keresztes Lajost, majd a Ruttkai Éva, Latinovits Zoltán színészpárhoz indult, de az Alkotmány és a Honvéd utca kereszteződésében karambolozott a 15-ös busszal.
Kis híján a palánkok táján maradt, hiszen a Ganz-Mávag kosárlabdázójaként sem ügyetlenkedett: az utánpótlás-válogatottban játszott, de a 16 éves óriást 1956-ban meglátta az 1928-as amszterdami olimpia birkózó bajnoka, Keresztes Lajos és Picit a Vasasba csábította. No, nem kosárlabdázni – birkózni! És Kozma, a hegy – érzékeny lélekkel, de egyben szereplési vággyal is megáldva – új pályafutásba kezdett. Igaz ugyan, hogy nem egykönnyen állt kötélnek. Húszévesen lett országos bajnok, egy évvel később a negyedik helyet csípte el a római olimpián. Az ellenfelek összecsomagolásának művésze a jokohamai világbajnoki bronzérem és az 1962-es toledói világbajnoki cím után már a tokiói olimpiára koncentrált, miközben itthon a legnépszerűbb sportolók között kezdték számon tartani, de mégis utolérte őt a gáncsoskodók, kétkedők – irigyek? – finom áskálódása, miközben az utca népe, vagyis a szurkolók imádták. Persze, nem hiányzott, hogy a helsinborgi vb-n – Tokió előtt egy esztendővel – csak az ötödik helyezés jutott neki, Kozmát legyávázták és éppen legnagyobb ellenfelét, a szovjet Roscsint hozták fel ellenpéldaként.
Augusztus 9-én Kökény Roland Dombi Rudolffal a kajak kettesek 1000 méteres távján nyert. Az Esztergomi KKSE versenyzője először 2004-ben Poznanban, csepeli színekben lett Európa-bajnok az 500 méteren győztes kajak négyes tagjaként. Egy évvel később Kucsera Gáborral párosban győzött 1000 méteren a zágrábi világbajnokságon, 2006-ban pedig már a szegedi vb-n győztes négyes tagja volt. Ezután hosszú szünet következett, egyszer még abba is hagyta a kajakozást Kökény, majd 2010-ben Esztergomba igazolt. Ebben az évben aztán Dombival megnyerte az Európa-bajnokságot és az olimpiai aranyat is. Még ugyanezen a napon, néhány perccel később az 500 méteren győztes női kajak négyes három tagja, Fazekas-Zur Krisztina, Kozák Danuta és Szabó Gabriella is csatlakozott a "klubhoz". Előbbi igazi négyes specialista, hiszen kizárólag ilyen egység tagjaként győzött. Már 2001-ben világ- és Európa-bajnok lett 200 méteren, majd 2003-ban ezren, 2006-ban 500-on, 2007-ben pedig megint csak 1000 méteren lett világbajnok, míg 2006-ban 500-on, 2007-ben és egy évvel később ezren, ez utóbbi évben és 2009-ben pedig 200-on Európa-bajnokságot nyert.